数学（理科）试卷                         
 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分. 每小题所给四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．已知集合 ，则集合M的真子集个数是 （    ）
 A．8 B．7 C．6 D．4
2．同时满足下列三个条件的函数是   （    ）
 ①有反函数 ②是奇函数 ③其定义域与值域相等
 A．   B．
 C．  D．
3．若 =   （    ）
 A．3 B．－3 C．－2 D．
4．已知抛物线 、 ），则“此抛物线顶点在直线顶点在直线
    下方”是“关于x的不等式ax2+bx+c<x有实数解”的  （    ）
 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件
5．如图1所示四个图像：

 与下列所给3件事吻合最好的图象顺序为  （    ）
 ①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学
 ②我骑着车以常速行驶，在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间
 ③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速
 A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（1） D．（4）（1）（2）
6．已知 成等差数列， 成等比数列，且 ，则 的取值范
   围是    （    ）
 A．  B．  C．  D．
7．已知 是第二象限角，且 ，下列命题正确的是  （    ）
 A．   B．
 C．若 ，则  D．若 ，则
8．已知 是偶函数，则函数 的图像的对称轴是  （    ）
 A．  B．  C．  D．
9．要得到函数 的图像，只需把函数 的图像
     （    ）
 A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
10．有一个等差数列 与一个等比数列 ，它们的首项是一个相等的正数且第 项也相等，则第 项的大小关系为   （    ）
 A．  B．  C．  D．
11．已知 在R上是减函数，且它的反函数为 ，如果A（－2，1）与B（2，－3）是 图像上的两点，则不等式 的解集是 （    ）
 A．  B．  C．  D．
12．已知数列 满足 ，若 ，则 = （    ）
 A．  B．  C．  D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每小题4分，共16分. 把正确答案填在题中所给横线上）
13．设U为全集，集合 ，若     ）≠     ，则
    a的取值范围是         .
14．设 ，那么          .
15．已知数列 满足 ，则数列 的通项公式 =
             .
16．函数 ，它的最小正周期为 ，且其图像关于直线
  对称，则在下面四个结论中：①图像关于点（ 对称；②图像关于点 对
 称；③在[0， 上是增函数；④在[ 上是增函数.
 所有正确结论的序号为             .
三、解答题（共74分. 解答须写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
17．（本小题满分12分）
 已知等比数列 中， ，公比 ， 又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项.
   （1）求 ；
   （2）设 ，求数列 的前n项和Tn.

18．（本小题满分12分）
 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，
   （1）求 的值；
   （2）若△ABC最长的边为1，求最短边的长.

19．（本小题满分12分）
 已知定义域为[0，1]的函数 同时满足：
 ①对于任意的 [0，1]，总有 ；② ；③若 ，
则有
   （1）求f（0）的值；
   （2）求 的最大值.

20．（本小题满分12分）
 已知奇函数 在 上有意义，且在（ ）上是增函数， ，
又有函数 ，若集合 ，集合
   （1）求 的解集.
   （2）求

21．（本小题满分12分）
 某公司生产的摩托车，1997年每辆车的成本为4000元，出厂价（出厂价=成本+利润）为4400元，从1998年开始，公司开展技术革新，降低成本，增加效益，预计2001年每辆车的利润达到当年成本的21%，并且每辆车的出厂价不超过1997年出厂价的70.4%.
   （1）2001年平均每辆摩托车的成本x至多是多少？
   （2）如果以1997年的成本为基数，1997~2001年，每年成本的降低率相同（设为y），
        试写出y与x的关系式.
   （3）在（2）的条件下，求每年成本至少降低百分之几？（ 供参考）

22．（本小题满分14分）
 已知函 ，数列 满足 ，且
   （1）设 证明：
   （2）设（1）中的数列 的前n项和为 ，证明

高三数学（理科）试卷参考答案

一、选择题：
1．B  2．B  3．A  4．A  5．D  6．C  7．C  8．D  9．A  10．C  11．A  12．A
二、填空题：
13．[－1，+∞ 14．5   15．   16．②④
三、解答题：
17．（1）依题意有 即 即
  即 
 
 故
   （2）
        
  时， 
 故 .
18．（1）由 知B为锐角.
 故
   （2）由（1）知 ，故c边最长，即c=1，又 ，故b边最短
  由正弦定理 得
    即最短边的长为 .
19．（1）对于条件③，令
 又由条件①知   故
   （2）设 ，则
        
 即   故 在[0，1]上是单调递增的
 从而 的最大值是
20．（1）  为奇函数且   
 又 在（1，+ ）上是增函数   在（－ ，0）上也是增函数
 故 的解集为
   （2）由（1）知
 
 由 <－1得
 即
 
  ，等号成立时
 故4－ ]的最大值是
 从而 ，即
21．（1）依题意
 解得
 即2001年平均每辆摩托车的成本至多是2650元.
   （2）
   （3）
 
  的最小值为
 即每年成本至少降低10.56%.
22．（1）
 
 （2）由（1）的证明过程可知