本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。下列各小题所给出的四个答案中只有一个是正确的。

1．下列函数中，值域是 的是                                                                      （    ）

       A．                            B．  

       C．                                             D．

A

B

C

A

B

C

B

A

B

C

D

B

A

A

C

2．在下列电路图中，表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是 （    ）

 

 

 

 

 

3．（理）复数 ，则 在复平面内对应的点位于                     （    ）

       A．第一象限            B．第二象限            C．第三象限            D．第四象限

  （文）下列函数中存在反函数的是                                                                     （    ）                                                                             

    A．y=x² +5           B．  y=∣x∣          C．y=             D．y=

4．有5条长度分别为1，3，5，7，9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成

   三角形的概率为                                                                                                （    ）

       A．                        B．                     C．                       D．

5．若等差数列 满足 ，且 ，则前 项之和 的最大值是        （    ）

A．                     B．                      C．                     D．  

6．函数 在[－3,0]上最大值、最小值分别是                                 （    ）

       A．1,－1                B．1，－17            C．3,－17             D．9,－19

7．李白在“将进酒”中有诗句：“古来圣贤多寂寞,唯有饮者留其名”,若要推翻李白的讲法,

   只须                                                                                                                  （    ）

       A．证明“古来圣贤皆不寂寞,且饮者皆未留其名”

       B．证明“古来圣贤皆不寂寞, 唯有饮者留其名”

       C．证明“古来圣贤皆不寂寞,或饮者皆未留其名”

       D．找出一个不寂寞的古圣贤，或找出一个未留名的饮者

8． 展开式中含x³系数等于                                                                   （    ）

       A．6                 B．12                 C．24                   D． 48

9．函数 的部分图象如图所示，则函数表达式为（  ）

       A．  

       B．

       C．  

       D．

10．函数 的部分图象大致是                                                               （    ）

      

          A               B                 C             D

11．过曲线 上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积是（    ）

       A．                      B．                 C．                    D．不确定

12．已知 是定义在R上的单调函数，实数 ，

    ，若 ，则                                  （    ）

       A．                 B．                 C．            D．

 

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

 

二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。

13．一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角a等于        弧度时，这个扇形的面积为最

大．

14．已知随机变量ξ的分布列为：

ξ	－2	－1	0	1	2	3
P

若P(ξ²<x)= ，则实数x的取值范围是        . 

15．在算式“4×□+1×□=30”的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数应分别为                。　　

16．设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0， ]上的面积为 （n∈N^* ），（i）y＝sin3x在[0, ]上的面积为　    　；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[ ， ]上的面积为　        .

三、解答题:本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分12分）

       已知向量 ,定义函数 ，求函数 的最小正周期、单调递增区间.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18．（本小题满分12分）

已知向量a=e₁-e₂，b=4e₁+3e₂，其中e₁= (1，0)，e₂= (0，1)．

   （1）试计算a·b；|a+b|的值；  

   （2）求向量a与b所成夹角的大小．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

左转

直行

停车线

19．（本小题满分12分）

如图，一辆车要通过某一十字路口，直行

时前方刚好由绿灯转为红灯，该车前面已有4

辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可

以直行或左转行驶）.已知每辆车直行的概率 ，

左转行驶的概率是 ，该路口红绿灯转换间隔为1分钟.假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒，一辆左转的车驶出停车线需要20秒.

求：（1）前4辆中恰有2左转行驶的概率;

   （2）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率；（汽车驶出停车线就算通

        过路口）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20．（本小题满分12分）

已知函数 ， （ 为常数），直线 与函数 、  的图像都相切，且 与函数 图像的切点的横坐标为1.

     （1）求直线 的方程和 的值；

     （2）求函数 的最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21．（本小题满分12分）

       设 是定义在[－1，1]上的偶函数， ， 的图象关于直线 对称，且当

x 时，  

（1）求 的表达式；

   （2）是否存在正实数 ，使函数 的图象的最高点在直线 上，若存在，求出

         正实数 的值；若不存在，请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20．（本小题满分14分）

       已知数列{ }中， （n≥2， ），

   （1）若 ，数列 满足 （ ），求证数列{ }是等差数列；

   （2）若 ，求数列{ }中的最大项与最小项，并说明理由；

   （3）（理做文不做）若 ，试证明： ．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

　　     

 

参考答案

 

一、选择题

1．C 2．B  3．D  4．B  5．C   6．C  7．D  8．C  9．A  10．C  11．C  12．A

二、填空题 

13．2   14．（4，9        15． 5,10     16． ,

三、解答题

17．（本小题满分12分）

　　 (2分)

    (3分)

（1）函数 的最小正周期为 ;  (5分)

（2）① 当 时, 且单调递增,

,即  (7分)

函数 的单调递增区间是   (9分)

       ② 当 时, 且单调递减,

,即

       函数 的单调递增区间是   (12分)

18．（1）a= (1，0) – (0，1) = (1，-1)，b = (4，0) +(0，3) =(4，3).

a·b =  (1，-1) ·(4，3)=1；  |a+b|=|(5，2)|= . (6分)

(2) = ，     ∴  θ= arccos .(12分)

19．（1）前面4辆车中恰有2辆左转行驶的概率，相当于独立重复试验4次恰有2次发生的概率，则 ；      (6分)

（2）该车在第一次绿灯亮起的1分钟内通过该十字路口的概率为

.   (12分)

20．（1）因为直线 与函数 图像的切点的横坐标为1，则此切点为 ，所以切线 的斜率 ，于是切线 方程为 . （2分）

又 ，所以切线 在函数 上的切点也为 ，从而 . （5分）

（2） ，令 ，

       则 ， （7分）

从而 ，由 ，得 .

       所以函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，则 .   

       即   （12分）

21．（1）当 时， 上的点P（ 与 上的点Q（ ，

       关于 对称，则  此时 代入 ，

得 ）. 上是偶函数，

当 时， ，

    （5分）

（2）命题条件等价于 因为 为偶函数，所以只需考虑 的情况.

求导

由 （舍）  （8分）

①当0< <1，即 时，

	0	（0， ）		（ ，1）	1
		+		—
	0				－4+2

      

②当 ，即 时， 上单调递增

 

综上，存在 使得 的图象的最高点在直线 上.       （12分）

22． （1） ，而　 ，

∴　 ．

　　 ∴　{ }是首项为 ，公差为1的等差数列．   （4分）   

　　（2）依题意有 ，而 ，

　　         ∴　 .

       对于函数 ，在x＞3.5时，y＞0， ，在（3.5， ）上为减函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

       故当n＝4时， 取最大值3.（6分）

       而函数 在x＜3.5时，y＜0， ，

       在（ ，3.5）上也为减函数．　　　　　　　　　

       故当n＝3时，取最小值， ＝－1.   （8分）

       （3）先用数学归纳法证明 ，再证明 .

       ①当 时， 成立；      （9分）

       ②假设当 时命题成立，即 ，

       当 时，

       故当 时也成立，      （11分）

综合①②有，命题对任意 时成立，即 . （12分）　　             

       （也可设 （1≤ ≤2），则 ，

       故 ）.

       下证：

       .（14分 ）  

 

 

......